Der Belastung sicher standhalten

Dazu wurde ein bereits existierendes Bauteil aus dem zu untersuchenden Material einem einfachen mechanischen Test unterzogen. Dieser Test wurde anschließend in der Simulation nachgestellt, um über Optimierungsrechnungen, bei denen die Werkstoffparameter variiert wurden, eine möglichst geringe Abweichung zwischen gemessener und berechneter Kraftreaktion zu erreichen.

Die Parameter sind zum einen der E-Modul und in diesem Beispiel drei Stützstellen im multilinearen Plastizitätsgesetz und zum anderen die für das gewählte Kriechgesetz erforderlichen Parameter. Die Aufteilung in mehrere Optimierungsrechnungen bietet dank der daraus resultierenden Reduktion der Parameterzahl entscheidende Vorteile. So war es möglich, die Aufgabenstellung im Ansys Designxplorer zu lösen.

Das APDL-Skript generiert daraus den zulässigen Spannungswert für σ2 zwischen σ2,min und σ3. Die Berechnungsvorschrift dafür ist vergleichsweise einfach.

Optimierung Schritt für Schritt
Zunächst wurde in der ersten Optimierung versucht, den rechnerischen E-Modul des Werkstoffs so anzupassen, dass sich am Ende des Elastizitätsbereichs der Messkurve (I) bei vorgegebener Verformung die gemessene Reaktionskraft auch in der Simulation einstellt. In dieser Rechnung wurde auch die maximal auftretende Vergleichsspannung im Bauteil ermittelt, sie diente als erster Stützpunkt (ε_pl1,σ₁) für das multilinear-isotrope plastische Materialgesetz.
In der zweiten Optimierung wurden der Endpunkt des Plastizitätsgesetzes (II) und ein weiterer, mittig liegender Stützpunkt (III) mit dem Ziel variiert, den gemessenen Kraftverlauf in der Simulation möglichst gut widerzuspiegeln. Dabei müssen die Geradenabschnitte im Plastizitätsgesetz streng monoton steigend sein. Besonders einfach lässt sich das in einem parametrisierten APDL-Skript sicherstellen, das das Werkstoffgesetz in der Ansys Workbench modifiziert. Der entsprechende Parameter für σ₂ ist dabei kein Absolutwert für die Spannung, sondern ein relativer Parameter, der im Designxplorer in den Grenzen zwischen 0 und 1 variiert wurde. Das APDL-Skript generiert daraus den zulässigen Spannungswert für σ₂ zwischen σ_2,min und σ₃. Die Berechnungsvorschrift dafür ist sehr simpel.

Zur Implementierung der Relaxationseffekte wurden die Materialeigenschaften um das "Modified Time Hardening"-Gesetz erweitert. Die Entwicklung der Kriechdehnungen ε_cr in Abhängigkeit von der Spannung σ, Zeit t sowie den Konstanten C₁, C₂ und C₃ ergibt sich zu:

Kraft-Zeit-Kurven vor und nach der Optimierung mit dem Ansys Designxplorer.

Für die Anpassung stand ein Kraft-Zeit-Verlauf aus dem Experiment zur Verfügung.
Für die Bestimmung der Anfangswerte der Materialparameter wurde angenommen, dass der Spannungs-Zeit-Verlauf dem Kraft-Zeit-Verlauf ähnlich ist, was streng nur für eine lineare Abhängigkeit der Kriechdehnung von der Spannung (C₂=1) zutrifft. Dann ist auch die Zunahme der Kriechdehnung proportional zum Verlust der Kraft. Diese Information genügt für die Festlegung von C₃. Der Term C₁σ^C₂ bestimmt den Betrag der Kriechdehnung. Dessen Startwert wurde aus der maximalen Spannung im Modell und der dieser zugeordneten Dehnung für die Endzeit aus einem Isochronen-Diagramm für einen verwandten Werkstoff bestimmt. C2 ist erfahrungsgemäß größer als 1 - als Startwert wird 1,2 gewählt.

C₁ und C₃ lassen sich durch zwei von der Sollkurve abgelesene Wertepaare bestimmen. Beide müssen die Kriechgleichung erfüllen:

Dieses Gleichungssystem lässt sich nach C₃ und C₁ auflösen. Für die Güte der Annäherung kommt allerdings der Auswahl der Stützstellen besondere Bedeutung zu, so dass C₁ und C₃ zum Beispiel auch durch Variation in Excel (optisch) anpassbar sind, wobei C₃ negativ sein muss. Die weitere Anpassung geschieht durch Optimierung im Designxplorer.

Eine reales, bereits existierendes Bauteil dient als Vorlage für das FE-Modell.

Als Zielfunktion ist zu minimieren (Fehlerquadrat). Dabei steht n_St für die Anzahl der berücksichtigten Stützstellen, F_rechn ist die mit dem FE-Modell berechnete und F_mess die im Versuch gemessene Kraft zum Zeitpunkt t_i. Design-Variablen sind die Materialparameter C₁, C₂ und C₃. Für C₁ in der Größenordnung 10-5, C₂ ¿ 1,2 und C₃ ≈ -0,9 bei der Zeiteinheit s und der Spannungseinheit N/mm² ergab sich im ersten Optimierungsdurchgang die Annäherung aus dem Diagramm.

Lösung für den Praktiker
Dieses Verfahren ist zusammen mit Cadfem erfolgreich getestet worden und wird bei Miele auch weiterhin bei entsprechenden Aufgaben angewendet. Es genügt vielleicht nicht streng akademischen Ansprüchen, aber es ist pragmatisch, schnell und erfolgreich und vor allem erleichtert es dem Berechnungsingenieur das Leben.

Der Beitrag basiert auf einem Manuskript von Matthias Hollenhorst, Miele & Cie. KG, Dr.-Ing. Ansgar Polley, CADFEM GmbH und Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Rust, FH Hannover